【弾性学】円孔を持つ無限板を一様な応力σ0で±x方向に引っ張る。このときの応力分布を求め、最大応力が現れる箇所とその大きさを示せ。【Part2|解答編】

勉強
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今回は、以下の問題について詳しく解説していきます。

円孔を持つ無限板を一様な応力σ0で±x方向に引っ張る。
このときの応力分布を求め、最大応力が現れる箇所とその大きさを示せ。

このページはPart2・解答編です。Part1・準備編こちらをご覧ください。
先にPart1を見ることをオススメします。

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解答

それでは、解答です。準備編の式番号を用いている箇所があります。

2つの問題に分けて考える

円孔の中心に座標原点をとり、引張力の方向にx軸をとります。このとき、無限遠点の応力分布は

23式

となっています。

これを、極座標(r,θ)で表すと、(6)式の変換によって

24式

となります。すなわち、

25式

となるので、この応力分布は

26式

27式

の2つの式の和として考えることができます。

(26)式で表される応力分布の問題を【問題1】、(27)式で表される応力分布の問題を【問題2】として、2つの問題に分けて考えましょう

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問題1

(26)式を言い換えると、この問題は以下のようになります。

内側の境界r=aσr=0、外側の境界r=b→∞で一様な引張力σr0/2が作用する円管の応力分布。

応力分布の図
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この問題を解いてみましょう。

境界条件は

28式

ですので、一般解(22)式よりこの応力を求めると

29式

となります。

ここで、b→∞であるので、(29)式より

30式

と求まります。

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問題2

続いて、(27)式について考えます。この問題は、以下のようになります。

内側の境界r=aでσr=τrθ=0、外側の境界r=b→∞で(27)式を満たす円管の応力分布。

27式の再掲

境界条件(27)式より、この解が

31式

となると推定できます。これを(12)式に代入すると、f(r)について

32式

を得ることができます。

ここで、f=r2を代入すると特性方程式はλ(λ-4)(λ+2)(λ-2)=0となるので、この一般解は

33式

です。ここで、(31)、(33)式を(9)式に代入すると、

34式

となります。ただしここで、r=b→∞の条件(27)式より、C1=-σ0/4C2=0r=aの条件σr=0より、C3=-σ0a4/4C40a2/2となります。

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2つの問題の和を考える

【問題1】と【問題2】より、この問題の応力分布は(30)、(34)式を足し合わせて、

35式

となることがわかりました。

円孔境界r=aでの応力σθは、(35)式でr=aとおいて

36式

となります。

この式より、θ=90°引張応力の最大値σθ=3σ0θ=30°σθ=0θ=0°圧縮応力の最大値σθ=-σ0となります。

この極座標平面を、改めてx-y平面に直して考えてみましょう。y軸に沿ってのσxの分布は(35)式より

37式

となります。

この式より、円孔境界y=aσx=3σ0を最大値として、yの増加とともに急激に減衰してσx0に近づきます。

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最終的な解答

極座標(r,θ)での応力分布

応力分布の式

最大応力を含むy軸に沿う応力分布

σxの応力分布

最大応力値は、円孔境界y=±a((x,y)=(0,a),(0,-a))

最大応力の値
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